矩阵娘究竟是什么?矩阵娘是体内有几个数字的萌娘,这些数字有顺序地排列成矩形。但是一般的矩阵娘萌点不多,所以本条目主要介绍元素排列为正方形的矩阵娘。 譬如由1、4、5、3四个数字构成的2阶矩阵娘$A$,如下排列:
矩阵娘的数字先按行、后按列排列,中间不需要逗号隔开,在两边加上方括号(有的同人作品是圆括号)表示矩阵娘的范围。
矩阵娘是数学家发明出来的女仆?
假定每只鸡有1个头、2只脚,每只兔有1个头、4只脚。现在笼中共有13个头、42只脚,问鸡、兔各有几何?
假定全是鸡,那么13个头对应26只脚,距离42只脚还差16只脚。每只兔比鸡多2只脚,多出来16只脚,所以有16÷2=8只兔子,有13-8=5只鸡。
设鸡的个数为$x$,兔的个数为$y$,由题意得二元一次方程组:
\begin{array}{ll} x&+y&=13 \\ 2x&+4y&=42 \end{array}
第一个式子翻倍:
\begin{array}{ll} 2x&+2y=26 \\ 2x&+4y=42 \end{array}
第二个式子减去第一个式子:
\begin{array}{ll} 2x&+2y&=26 \\ &2y&=16 \end{array}
解得$y=8$,代入原二元一次方程组中任意一个方程,解得$x=5$。
其实这里已经体现了高斯消元法
设鸡的个数为$x_1$,兔的个数为$x_2$,由题意得二维线性方程:
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 42 \end{bmatrix}$$
我们把$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$称为矩阵娘$A$,把$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$称为向量娘$\symbfit{x}$,矩阵娘和向量娘贴贴,得到了一个新的向量娘$\begin{bmatrix} 13 \\ 42 \end{bmatrix}$。
$$A\symbfit{x}=\symbfit{v}$$
解这个矩阵方程,解出未知向量娘$\symbfit{x} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$。
至于怎么解矩阵方程嘛,可以$\symbfit{x} = A^{-1}A\symbfit{x} = A^{-1}\symbfit{v}$,也可以像初中二年级那样,通过矩阵的换装初等变换来完成。
比如某个矩阵娘站起来的时候是$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,躺下去就成了$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$。 再比如$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$,躺下去就成了$A = \begin{bmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{bmatrix}$。
转置一般用右上角的“$T$”表示,譬如$A$的转置记作$A^T$。
共轭转置指的是在转置之后取共轭复数,$A$的共轭转置记作$A^H$。
用一个复数$z$和矩阵娘$A$相乘,可以将矩阵娘变多或者变少(譬如1个苹果变成2个苹果),记为$zA$,这会导致矩阵娘体内元素的变化。
$$2\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 10 & 6 \end{bmatrix}$$
矩阵娘$A$可以贴贴另一个矩阵娘$B$,从而得到一个新的矩阵娘$C$。例如
$$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*1+4*4 & 1*6+4*4 \\ 5*1+3*4 & 5*6+3*4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 22 \\ 17 & 42 \end{bmatrix}$$
注意,矩阵娘的贴贴是区分攻受的,$AB$并不一定等于$BA$哦。
$$\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*5+6*1 & 1*4+6*3 \\ 4*1+4*5 & 4*4+4*3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 31 & 22 \\ 24 & 28 \end{bmatrix}$$
矩阵娘的贴贴又被称为乘法,但是要注意,一般认为矩阵娘没有除法。
譬如矩阵娘$B$被矩阵娘$A$贴了一下,记作$AB$;然后又被$A$贴了一下,记作$AAB$,如果被贴了很多下,就会变成$AAA...AAAB$,这样写起来太麻烦。于是矩阵娘要想办法记一下自己被贴了几下,聪明的矩阵娘才不会在腿上写正字呢,就在“攻”的右上角写数字。例如$A^5B=AAAAAB$,表示$B$被$A$贴贴了5次。
矩阵娘并不孤独,如果一个矩阵娘$A$和另一个矩阵娘$B$贴贴可以得到单位矩阵娘: $$AB=E$$ 那么称$A$是$B$的逆矩阵娘,并且,与此同时$B$也是$A$的逆矩阵娘。
体内所有元素都是$0$的矩阵娘是零矩阵娘(Null matrix girl)。零矩阵娘有专门的记号$O$(这是字母O不是阿拉伯数字0)。
零矩阵娘才不是什么都没有呢!
体内元素对角线上的全是$1$,其余的全是$0$的矩阵娘是单位矩阵娘(Identity matrix)。单位矩阵娘有专门的记号$E$(以及$I$)。 你会发现
…… 单位矩阵娘是所有矩阵娘中最萌的矩阵娘。
如果一个矩阵娘的共轭转置和自己相乘,等于自己和共轭转置相乘,那么她是正规矩阵娘(Normal matrix girl)师范矩阵娘。
如果一个矩阵娘的共轭转置等于自己,那么她是厄米特矩阵娘(Hermite matrix girl)。
实数域领土内的厄米特矩阵娘又被称为对称矩阵娘(Symmetric matrix girl)。 $$A^T=A$$
如果一个矩阵娘的共轭转置和自己相乘,等于单位矩阵娘,那么她是酉矩阵娘(Unitary matrix girl),又称幺正矩阵。酉矩阵娘有专门的记号$U$。
换而言之,酉矩阵娘的逆,恰好等于酉矩阵娘的共轭转置: $$U^{-1} = U^H$$ 实数域领土内的酉矩阵娘又被称为正交矩阵娘(Orthogonal matrix girl)。 $$AA^T = A^TA = E$$ $$A^{-1} = A^T$$
如果一个矩阵娘自己和自己相乘,等于自己(自交还是自己),那么她是幂等矩阵娘(Idempotent matrix girl)。
矩阵娘$A$可以和非零向量娘$\symbfit{x}$贴贴,会产生一个新的向量娘$A\symbfit{x}$,如果恰好是这个向量娘的$\lambda$倍($\lambda \symbfit{x}$)生下来的女儿像老婆,即: $$A\symbfit{x} = \lambda \symbfit{x}$$
那么,称这样的$\lambda$为矩阵娘$A$的特征值。
将上式变形为$\lambda \symbfit{x} - A\symbfit{x} = \symbfit{0}$,即$(\lambda E - A)\symbfit{x} = \symbfit{0}$。
这说明矩阵娘$(\lambda E - A)$贴贴非零向量娘$\symbfit{x}$得到零向量娘,那么矩阵娘$(\lambda E - A)$一定是奇异的,它的行列式为0。定义函数娘$f(\lambda) = \det (\lambda E - A)$,成为矩阵娘$A$的特征多项式娘,她的全部根就是矩阵娘$A$的特征值。
对于矩阵娘$A$,将$A^HA$(注意不是$A$)的特征值从大到小排列:$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_r \ge 0 = ... = 0$
则称$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i} (i=1,2,...,r)$为矩阵娘$A$的正奇异值。
$A$与$A^H$有相同的正奇异值。