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Aleph-0

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Temptation
曲目基本资料
Aleph0.jpg
曲名 ℵ₀
Aleph-0
作曲 LeaF
BPM 35~400
版权 BMS
初出音游 BMS
BMS
差分 Normal Hyper Another Insane
SP 7 10 12 12
Phigros
难度 EZ HD IN AT
等级 4 12 15 --


简介

Aleph-0阿列夫零是由LeaF参赛BOFU2016个人战的冠军曲。Aleph-0代指自然数集的基数。而正如本曲的BGA充满了大量与分型和集相关的数学概念,如艰涩的公式、各种以分形的方式呈现的物体等。

该曲先是BPM250,然后BPM突降35。接着是逐渐加快的片段(以时间为单位,而不是小节),DeltaMAX特色。到达“Temptation”人声采样的出现后BPM达到400(最高),在此时的16分鼓点之后立刻还原到250BPM,之后一直持续到此时曲师表示BPM变化就算还有也不想写了,走了,于是结束。

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网易云音乐上的加长版:

BGA中出现的分形要素与公式

文字版
开头的浮空物体:正八面体
凸现的多个三角形孔状物体:谢尔宾斯基四面体
前一段出现的各公式:曼德博集,康托集,门格海绵,谢尔宾斯基曲线,龙形曲线,科赫曲线,巴恩斯利蕨,不可数集(闪过的denumerable set字样),燃烧船分形,带内部和不带内部的茱利亚集,牛顿分形,李亚普诺夫分形,莱维飞行和布朗运动
BPM上升段开始前:各种门格海绵
数学公式版
Radiation warning symbol.svg
前方侦测到
超越大学数学级别的高能反应!
请非战斗人员迅速撤离!

此章节列举了所有BGA中出现的公式,可以与原BGA对照参考。(对数学公式感到不适的读者请谨慎打开)

由于Optie的公式要素大都取自当时的维基百科界面,因此有不少公式有一些错误,在此一并注明并修复。

公式名 (修正后的)公式 备注
曼德博集(Mandelbrot Set)
$\begin{cases} Z_{n+1}=Z_{n}^{2}+C \\ Z_{1}=0 \end{cases}$
原BGA的公式中漏掉了2次方(若没有则此公式不代表任何分形)
康托集 (Cantor Set)
$\mathcal{C}=[0, 1]\backslash \bigcup \limits_{m=0}^{\infty}\bigcup\limits_{k=0}^{3^{m}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{m+1}}, \frac{3k+2}{3^{m+1}}\right)$
原BGA的公式中分母误写成了3m
门格海绵 (Menger Sponge)
$M_{n+1} := \left\{\begin{matrix} (x,y,z)\in\mathbb{R}^3: & \begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \\ \mbox{and at most one of }i,j,k\mbox{ is equal to 1}\end{matrix} \end{matrix}\right\}$
-
谢尔宾斯基曲线 (Sierpinski Curve)
$S_{n+1} \mbox{ has } l_n = {2 \over 3} (1+\sqrt 2) 2^n - {1 \over 3} (2-\sqrt 2) {1 \over 2^n}$
原BGA中is表达不妥当,应为has(ln指曲线长度)
龙形曲线 (Dragon Curve)
$\begin{cases} f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2} \\ f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2} \end{cases}$
-
科赫曲线 (Koch Curve)
$A_{n} =a_0\left(1 + \frac{1}{3} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left(\frac{4}{9}\right)^{k} \right)$
An指这个分形的面积
巴恩斯利蕨 (Barnsley Fern)
$f(x,y) = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix}$
-
燃烧船分形 (Burning ship fractal)
$\begin{cases} z_{n+1} = (|\operatorname{Re} \left(z_n\right)|+i|\operatorname{Im} \left(z_n\right)|)^2 + c \\ z_{1}=0 \end{cases}$
-
带内部的茱利亚集 (Julia Set
$\ K(f) \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \{ z \in \mathbb{C} : f^{(k)} (z) \not\to \infty\ as\ k \to \infty \}$
-
不带内部的茱利亚集(Julia Set)
$f(z) = \frac{1 + (n-1)z^n}{nz^{n-1}}$

$\nu(z) = k - \frac{\log(\log|z_k|/\log(N))}{\log(d)}$
此处f(z)仅为一个例子,并不代表所有茱利亚集;v(z)代表分形迭代多少次后会变成实分形
牛顿分形 (Newton Fractal)
$z_{n+1}=z_n- a \frac{p(z_n)}{p'(z_n)}$
-
李亚普诺夫分形 (Lyapunov Fractal)
$\lambda = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum\limits_{n = 1}^N \log |r_n (1 - 2x_n)|$
λ代表分形在该点的混乱程度
莱维飞行 (Levy Flight)
$\Pr(U>u) = \begin{cases} 1 &:\ u < 1,\\ u^{-D} &:\ u \ge 1. \end{cases}$
公式代表在分形上的一个随机过程的行走路径
布朗运动 (Brownian Motion)
$\rho(x, t+\tau)=\rho(x,t) + \tau \frac{\partial\rho(x)}{\partial t} + \cdots$
这只是推导分形公式的其中一步。
BGA中把“+…”省去了

收录情况

官谱

BMS

无需多言的本家。在本曲开头与结尾,BPM呈现不定式超速变化。谱师疯啦!疯啦!抢救!!!(错乱
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Dance Rail

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Phigros

2020年1月24日,本曲作为追加单曲强势登陆Phigros。
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自制谱

osu!

目前较知名的谱面共有三个,两个standard模式和一个mania模式。都是特效谱。
  • standard模式:
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  • mania模式:
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几何冲刺

该关卡由Zhander制作。制作人称关卡仅仅是一个未装饰的layout,但是关卡仍然由于其惊人的特效和变速被众多mod人音游人rate为免费insane demon。Robtop表示不想给你featured因此该关卡在几何冲刺圈内火爆一时。
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相关梗

LeaF的完美数学教室

基于本曲的相关内容,有人将本曲与东方Arrange曲《琪露诺的完美算数教室》结合起来,该梗因而得名。(待补充)

外部链接与注释